برآوردیابی ناپارامتری میانه نااُریب چندکها

دراین پایانامه ابتدا برخی مفاهیم و اصطلاحات اساسی مورد استفاده در فصل های مختلف پایان نامه را به اختصار شرح می دهیم. به معرفی تابع توزیع و برخی از ویژگی های آن می پردازیم و سپس آماره های ترتیبی را که اکثر تحلیل ها و بررسی های این پایان نامه بر مبنای آنها می باشد معرفی می کنیم. پس از آن چندک ها، چندک های خاص و برخی از خواص مهم چندک ها را ارائه می دهیم .درمبحث بعد مسئله برآورد ناپارامتری میانه-نااریب برای چندک ها را مورد مطالعه قرار می دهیم. f را خانواده توابع توزیع پیوسته و x_? (f) را چندک مرتبه ? -ام توزیع در نظر می گیریم و میانه-نااریبی یک برآوردگر مانند t را شرح می دهیم. هدف اصلی این قسمت یافتن بهترین برآوردگر برای x_? (f) می باشد از این دیدگاه که دارای بیشترین تمرکز باشد. فرض کنید نمونه تصادفی x_1,x_2,…,x_n را در اختیار داشته باشیم و برآوردگر مورد نظر را t بنامـــیم که تابعی از نمـــونه اســت. فرض می کنیم n داده شده باشد فضــای n بــــعدی ?=(?_1,?_2,…,?_n) رابـــــه عنـــــــوان نــــــقــــــطــــه ای در فـــــــضـــای s_n={x=(x_1,x_2,…,x_n):0?x_j?1 ,j=1,…,n ,?_(j=1)^n?x_j =1} در نظر می گیریم. آماره های ترتیبی را بر حسب نمونه داده شده تعریف کرده و حدس می زنیم برآوردگر مورد جستجو بر حسب آماره های ترتیبی باشد. در این رابـــــــــطه متغیر t=x_((j)) تعریف می-کـــنیم و در کـــلاس t(?)={t=x_((j)),???(?)} کــه درآن ?(?)={??s_n:?_(j=1)^n???_j ?_j (?)=1/2?} برآوردگر بهینه را می یابیم. بنابراین در این مبحث بیان شدکه بهترین برآوردگر ناپارامتری میانه نا اریب برای چندک ها در یک کلاس خاص بر حسب آماره های ترتیبی می باشد و بهترین برآوردگر مورد نظر برای چندک را با شرط ناپارامتری بودن توزیع و میانه نااریبی برآورد گر مذکور یافتیم. درمبحث بعدی شرط سوم پایا بودن برآورد گرنیز به دو شرط پیشین افزوده می شود و در این حالت به جستجوی برآوردگر بهینه می پردازیم. در این قسمت با داده شدن ??(0,1) ویک نمونهx_1,x_2,…,x_n ازتوزیع مجهول f?f، برآوردگرt^* ?=t^* (x?_((1)),x_((2)),…,x_((n))) را برای چندک مرتبه ? –ام یعنی x_? (f) به گونه ای می سا زیم کهe_f |f(t^* )-?|?e_f |f(t)-?| برای همه t?t وهمه f?f که یک f خانواده ناپارامتری ازتوزیع هاو tیک کلاس ازبرآوردگرها باشد. نشان می دهیم که t^*=x_((j))برای یک jانتخابی مناسب از آماره های ترتیبی می باشد. همچنین بهترین برآوردگر میانه نااریب نیز ساخته می شود. تاکنون برآوردگر میانه نا اریب ناپارامتری چندک را با استفاده از دو روش مختلف که در روش دوم شرط پایایی را نیز افزودیم محاسبه کرده و به این نتیجه رسیدیم که هر دو برآورد گر در دو روش با هم یکسان می باشند و فرم برآورد گر برحسب آماره های ترتیبی بصورت x_((j))می باشد. در آخرین مبحث ابتدا توزیع های -? پایدار را معرفی نموده و ویژگی های آنها را بررسی می کنیم، سپس برآورد میانه نا اریب برای مشخصه نمایی)شاخص پایداری) یک توزیع پایای متقارن را می یابیم. واضح است که برآوردیابی در این حالت به صورت پارامتری صورت می پذیرد. دراین حالت فرض می شود که متغیر مورد مطالعه دارای توزیع ? - پایدار متقارن می باشد. آنگاه فرض می کنیمf_? (x) یعنی تابع توزیع یک توزیع متقارن پایا با تابع مشخصه ای بصورت e^(-|t|^? ) باشد و با استفاده از ایده فاما– رول، برآوردگر (x_? ) ? را به عنوان چندک ? - ام متغیر تصادفی x در نظر گرفته آنگاه برآوردپارامتر شاخص پایداری یعنی ? را ارائه می دهیم و در نهایت نااریبی و بهینگی این برآورد گر را ثابت می کنیم.